Geometri.

1. Analitik Düzlem

Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.

Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.

Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.

P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.

Orijinin koordinatları O(0,0) dır.

x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.

 

Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar. I. Bölge: x > 0              y > 0 II. Bölge: x < 0               y > 0 III. Bölge: x < 0                y < 0 IV. Bölge: x > 0                y < 0

2. İki nokta arasındaki uzaklık

a. Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.

 

Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir. A(a, c) ve B(a, b) noktaları için |AB| = |c – b|

 

Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir. A(b, a) ve B(c, a) noktaları için |AB| = |c – b|

b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık

Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.

A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.

AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.

Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;

eşitliği ile bulunabilir.

Burada x₁ ile x₂ nin ve y₁ ile y₂ nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.

•  İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.

İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır. Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.

 

c. Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı

3.Orta Nokta Koordinatları

Yukarıdaki şekilde A(x₁, y₁) noktası ile B(x₂, y₂) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x₀, y₀) noktası ise

• Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.

ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır. Buradan; x1 + x3 = x2 + x4 y1 + y3 = y2 + y4

4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları

Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.

A(x₁,y₁) , B(x₂,y₂) ve C(x₃,y₃) noktaları için,

eşitliği vardır.

Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.

m uzunluğunda (x₂ – x₁) kadar değişirse

n uzunluğunda (x₃ – x₂) kadar değişir.

Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.

m uzunluğunda (y₂ – y₁) kadar değişirse

n uzunluğunda (y₃ – y₂) kadar değişir.

5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

ABC üçgeninin köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:

Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir.

6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı

Köşe koordinatları A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) ve C(x₃,y₃) olan ABC üçgeni veriliyor.

 

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)

Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.

• Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
• Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.

1. DOĞRU ANALİTİĞİNE GİRİŞ

 

• Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.
• Doğrunun denklemi:

Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.

y = mx + n

y = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa

elde edilir

 x in katsayısı  eğimi verir.

Öyle ise,

ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi

Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi

a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi

Analitik düzlemde A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.

Buradan

• olduğundan

şeklinde de yazılabilir

b. İki noktası bilinen doğrunun denklemi

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre,

Bu eşitlik bize iki noktası bilinen doğru denklemini verir.

şeklinde de yazılabilir. Sonuç aynıdır.

• Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından

y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.

O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi

y= mx

Doğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.

Doğru denklemi ax + by = 0 olur.

3. Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi

A(x₁, y₁) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

4. Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

a. Eksen doğruları

Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur. y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.

b. x eksenine paralel doğrular

y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.

c. y eksenine paralel doğrular

x = k doğrusu; x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

5. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi

x eksenini a noktasında y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi

Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.

Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya y=x doğrusu denir.

 

Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya  y= -x   doğrusu denir.

 

•  y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.

6. Doğruların Grafikleri

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.

x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır.

7. İki Doğrunun Kesişmesi

 

Analitik düzlemde alınan iki doğru paralel değilse bir noktada kesişirler.

şekildeki d1 ve d2 doğrularının kesiştikleri P(x1,y1) noktasında her iki doğrunun apsisleri ve ordinatları eşittir.

P(x1,y1) bulunabilmesi için x ve y değerleri eşitlenerek ortak çözüm yapılır.

 

Doğru demeti: Bir noktadan geçen sonsuz tane doğruyu ifade eden denkleme doğru demeti denir.

 

Kesişen iki doğrunun denklemlerinden birinin bir sayı ile çarpılıp diğeri ile toplanması sonucu oluşan yeni doğru bu iki doğrunun kesişim noktasından geçer. Bu doğru, bu noktadan geçen doğru demetinin bir elemanıdır.

8. İki Doğru Arasındaki Açı

a. İki doğrunun paralelliği

İki doğru arasındaki açı 0 derece ise yani doğrular paralel ise x ekseni ile yaptıkları açılar eşit olacağından bu iki doğrunun eğimi eşittir.

b. İki doğrunun dikliği:

Dik koordinat düzleminde İki doğru arasındaki açı 90° ise yani doğrular dik ise d1: y = m1x + n1 d2: y = m2x + n2 olan d1 ve d2 doğruları için

c. İki doğru arasındaki açının tanjantı:

Dik koordinat düzleminde d1: y = m1x + n1 d2: y = m2x + n2 doğruları arasındaki açı a derece ise Tga için

m₁ ile m₂ nin yer değişmesi sonucun işaretini değiştirir. Tga pozitif ise, iki doğru arasındaki dar açının negatif ise geniş açının tg değerini verir.

9. Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı

Analitik düzlemde A(x1,y1) noktasının d: ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı formülü ile bulunabilir.

a. Paralel iki doğru arasındaki uzunluk

d1:ax + by + c1 d2:ax + by + c2

d₁ ve d₂ doğruları paralel olduğundan x ve y katsayıları eşitlenebilir.

x ve y katsayıları eşitlendiğinde sabit terimler c₁ ve c₂ oluyor ise iki doğru arasındaki uzaklık

•  d₁ ve d₂ doğrularının ortasından geçen doğrunun denklemi;

b. Açıortay denklemi

Kesişen iki doğrunun açıortayları dik kesişen iki doğrudur. [KL] ^ [PR]

Açıortay üzerinde alınan noktaların kenarlara uzaklığı eşit olduğundan uzunlukları eşitleyerek yazacağımız denklem açıortay doğrularının denklemidir.

d₁: ax + by + c = 0 ve

d₂: dx + ey + f = 0 doğrularının açıortay denklemleri

a² + b² = d² + e² eşitliği varsa açıortay doğrularının denklemleri

(a ± d)x + (b ± e)y + (c ± f) = 0

eşitliğinden yazılabilir.

10. Simetri

a. Bir noktaya göre simetri

A noktasının B noktasına göre simetriği C noktasıdır. B orta noktadır.

•  A(a, b) noktasının orijine göre simetriği A'(–a, –b) noktası olur.

b. Bir doğruya göre simetri

A noktasının d doğrusuna göre simetriği B noktası ise d doğrusu A ile B nin orta noktasından geçer ve [AB] ye diktir.

 

• Düzlemde farklı iki noktaya uzaklıkları eşit noktalar kümesine orta dikme doğrusu denir.

• A ve B noktalarının orta dikme doğrusu [AB] nin ortasından geçer ve [AB] ye diktir.

• y = x ve y = –x doğrularına göre simetri

Bir P(a,b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği alınırken koordinatları yer değişir. Simetri noktası P'(b,a) olur.

y = –x doğrusuna göre simetride ise koordinatlar hem yer hem de işaret değişirler. P"(–b,–a) olur.

c. Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği

d₁ doğrusunun B noktasına göre simetriği d₂ doğrusu ise d₁ // d₂ ve |BD| = |BE|, |AB| = |BC| dir.

Öyle ise d₂ doğrusunu bulmak için d1 doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın B noktasına göre simetriği olan noktadan geçen ve d₁ doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulmak gerekir.

d. Bir doğrunun bir doğruya göre simetriği

d1 doğrusunun x eksenine göre simetriği olan d2 doğrusu şekildeki gibidir. d1 ve d2 doğrularının y eksenini kestikleri noktalar x eksenine göre birbirinin simetriğidirler.

şekilde d1 ve d2 doğruları y eksenine göre birbirinin simetriği durumundadırlar.

 

y = x doğrusuna göre d1 doğrusunun simetriği olan d2 doğrusu şekildeki gibidir. d1 doğrusunun x eksenini kestiği noktanın y = x doğrusuna göre simetriği d2 doğrusunun y eksenini kestiği noktadır.