Trigonometri

TRİGONOMETRİ

AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ

DERECE

360 eş parçaya ayrılmış bir çember yayının parçalarından birine bakan merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 1^o ile gösterilir.

GRAD

400 eş parçaya ayrılmış bir çember yayının parçalarından birine bakan merkez açının ölçüsüne 1 grad denir ve 1^G ile gösterilir.

RADYAN

Bir çemberin yarıçapı uzunluğundaki bir yay parçasına bakan açıya 1 radyan denir ve 1 rad ile gösterilir.

AÇI ÖLÇÜLERİNİN DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

D dereceyi, G gradı ve R radyanı göstermek üzere, açı ölçü birimleri aşağıdaki formül ile birbirlerine dönüştürülebilir.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

SİNÜS FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının sinüsü denir.

Sinüs fonksiyonu, bütün reel sayıları [-1,1] kapalı aralığına götürür ve kısaca 'sin' ile ifade edilir.Sinüs fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

KOSİNÜS FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının kosinüsü denir.

Kosinüs fonksiyonu, bütün reel sayıları [-1,1] kapalı aralığına götürür ve kısaca 'cos' ile ifade edilir. Kosinüs fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

TANJANT FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir.

Tanjant fonksiyonu, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün reel sayıları, bütün reel sayılara götürür ve kısaca 'tan' ile ifade edilir. Tanjant fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

KOTANJANT FONKSİYONU

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenarın uzunluğunun karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kotanjantı denir.

Kotanjant fonksiyonu, her k tamsayısı için kπ sayıları dışındaki bütün reel sayıları, bütün reel sayılara götürür ve kısaca 'cot' ile ifade edilir. Kotanjant fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

SEKANT FONKSİYONU

Bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun bir dar açının yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının sekantı denir.

Sekant fonksiyonu, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün reel sayıları, R-(-1,1) kümesine götürür ve kısaca 'sec' ile ifade edilir. Sekant fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

KOSEKANT FONKSİYONU

Bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kosekantı denir.

Kosekant fonksiyonu, her k tamsayısı için kπ sayıları dışındaki bütün reel sayıları, R-(-1,1) kümesine götürür ve kısaca 'csc' ile ifade edilir. Kosekant fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN DİK ÜÇGENDE GÖSTERİMİ

Yukarıdaki üçgene uyan trigonometrik fonksiyonlar aşağıdaki gibi belirtilir.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki en önemli özdeşlikler aşağıdaki gibidir.

BAZI AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ

TRİGONOMETRİK FORMÜLLER

BİRİM ÇEMBER

Koordinat düzleminde, merkezi orjinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veyatrigonometrik çember adı verilir. Birim çemberin denklemi x² + y² = 1'dir.

Birim çember üzerindeki bir (x,y) noktasından ve orjinden geçen doğru ile apsis ekseni arasında kalan pozitif yönlü açı, θ ile isimlendirilsin. Bu durumda (x,y) noktası, (cosθ,sinθ) noktasına eşit olur. Bu bakış açısıyla kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının yaklaşık değerleri hakkında bir fikre sahip olunabilir.

Trigonometrik fonksiyonların grafiğinin birim çember üzerinden oluşturulmasını dinamik ve etkileşimli olarak gözlemlemek için bu animasyona bakınız.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYODU

Bütün trigonometrik fonksiyonlar en fazla 2π periyotludur. Yani fonksiyonun tanım kümesindeki bir nokta ile, 2π uzaklığındaki bir diğer nokta, fonksiyon altında aynı değere sahiptir. f birtrigonometrik fonksiyon, k ise bir tamsayı olmak üzere;

özdeşliği her x reel sayısı için sağlanır.

Özel olarak tanjant ve kotanjant fonksiyonları π periyotludur.

KAYDIRMA FORMÜLLERİ

θ radyan cinsinden olmak üzere, her θ için;

eşitlikleri sağlanır.

ÇİFT AÇI FORMÜLLERİ

θ radyan cinsinden olmak üzere, her θ için,

eşitlikleri; θ değeri, her k tamsayısı için π/4 + kπ/2 ve π/2 + kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği; ve θ değeri, her k tamsayısı için kπ/2 sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği sağlanır.

Not: Çift açı formülleri bazı kaynaklarda 'yarım açı formülleri' olarak da geçebilir.

TOPLAM AÇI FORMÜLLERİ

θ ve φ radyan cinsinden olmak üzere, her θ ve φ için,

eşitlikleri; θ, φ ile θ±φ değerleri, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği; ve θ, φ ile θ±φ değeri, her k tamsayısı için kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği sağlanır.

DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

θ ve φ radyan cinsinden olmak üzere, her θ ve φ için,

eşitlikleri; θ ile φ değerleri, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği; ve, θ ile φ değerleri, her k tamsayısı için kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği sağlanır.

TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

θ ve φ radyan cinsinden olmak üzere, her θ ve φ için,

eşitlikleri; θ değeri, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayılarından, ve φ değeri, her k tamsayısı için kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği; θ ile φ değerleri, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği; ve, θ ile φ değerleri, her k tamsayısı için kπ sayılarından farklı olmak üzere,

eşitliği sağlanır.

SİNÜS TEOREMİ

Bir ABC üçgeninde; α açısının karşısındaki kenarın uzunluğu a, β açısının karşısındaki kenarın uzunluğu b, γ açısının karşısındaki kenarın uzunluğu c ve üçgenin çevrel çemberinin yarıçapının uzunluğu r olmak üzere;

eşitliğine sinüs teoremi veya sinüs kuralı adı verilir.

KOSİNÜS TEOREMİ

Bir ABC üçgeninde; α açısının karşısındaki kenarın uzunluğu a, yanlarındaki kenarların uzunluğu b ile c olmak üzere;

eşitliğine kosinüs teoremi veya kosinüs kuralı adı verilir.

İKİ KENARI VE BİR AÇISI BİLİNEN ÜÇGENİN ALANI

Bir ABC üçgeninde; A üçgenin alanı, ve α açısının yanlarındaki kenarların uzunluğu b ile c olmak üzere;

formülü geçerlidir.

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Ters trigonometrik bağıntılar, trigonometrik fonksiyonların terslerinin alınmasıyla elde edilir.

ARKSİNÜS FONKSİYONU

Arksinüs bağıntısı, sinüs fonksiyonunun tersinin alınmasıyla elde edilir ve 'arcsin' ile gösterilir.

Arksinüs bağıntısı [-1,1] kapalı aralığındaki reel sayıları, bütün reel sayılara götürür.

Arksinüs fonksiyonları, arksinüs bağıntısının görüntü kümesini parçalayarak elde edilir. Genel olarak; her k tek tamsayısı için, [-1,1] kapalı aralığındaki reel sayıları, [kπ/2 , (k+2)π/2] kapalı aralığındaki reel sayılara götürürler.

ARKKOSİNÜS FONKSİYONU

Arkkosinüs bağıntısı, kosinüs fonksiyonunun tersinin alınmasıyla elde edilir ve 'arccos' ile gösterilir.

Arkkosinüs bağıntısı [-1,1] kapalı aralığındaki reel sayıları, bütün reel sayılara götürür.

Arkkosinüs fonksiyonları, arkkosinüs bağıntısının görüntü kümesini parçalayarak elde edilir. Genel olarak; her k tamsayısı için, [-1,1] kapalı aralığındaki reel sayıları, [kπ , (k+1)π] kapalı aralığındaki reel sayılara götürürler.

ARKTANJANT FONKSİYONU

Arktanjant bağıntısı, tanjant fonksiyonunun tersinin alınmasıyla elde edilir ve 'arctan' ile gösterilir.

Arktanjant bağıntısı bütün reel sayıları, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün reel sayılara götürür.

Arktanjant fonksiyonları, arktanjant bağıntısının görüntü kümesini parçalayarak elde edilir. Genel olarak; her r reel sayısı ve her k tamsayısı için, bütün reel sayıları, [r , r+π] kapalı aralığında π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün reel sayılara götürürler.

ARKKOTANJANT FONKSİYONU

Arkkotanjant bağıntısı, kotanjant fonksiyonunun tersinin alınmasıyla elde edilir ve 'arccot' ile gösterilir.

Arkkotanjant bağıntısı bütün reel sayıları, her k tamsayısı için kπ sayıları dışındaki bütün reel sayılara götürür.

Arkkotanjant fonksiyonları, arkkotanjant bağıntısının görüntü kümesini parçalayarak elde edilir. Genel olarak; her r reel sayısı ve her k tamsayısı için, bütün reel sayıları, [r , r+π] kapalı aralığında kπ sayıları dışındaki bütün reel sayılara götürürler.

ARKSEKANT FONKSİYONU

Arksekant bağıntısı, sekant fonksiyonunun tersinin alınmasıyla elde edilir ve 'arcsec' ile gösterilir.

Arksekant bağıntısı, R-(-1,1) kümesindeki bütün reel sayıları, her k tamsayısı için π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün reel sayılara götürür.

Arksekant fonksiyonları, arksekant bağıntısının görüntü kümesini parçalayarak elde edilir. Genel olarak; her k tamsayısı için, R-(-1,1) kümesindeki bütün reel sayıları, (kπ , (k+1/2)π) ∪ ((k+1/2)π , (k+1)π) kümesindeki reel sayılara götürürler.

ARKKOSEKANT FONKSİYONU

Arkkosekant bağıntısı, kosekant fonksiyonunun tersinin alınmasıyla elde edilir ve 'arccsc' ile gösterilir.

Arkkosekant bağıntısı, R-(-1,1) kümesindeki bütün reel sayıları, her k tamsayısı için kπ sayıları dışındaki bütün reel sayılara götürür.

Arkkosekant fonksiyonları, arkkosekant bağıntısının görüntü kümesini parçalayarak elde edilir. Genel olarak; her k tek tamsayısı için, R-(-1,1) kümesindeki bütün reel sayıları, (kπ/2 , (k+1)π/2) ∪ ((k+1)π/2 , (k+2)π/2) kümesindeki reel sayılara götürürler.